Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika

Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika - Probabilitas dan Distribusi Matematik merupakan dasar untuk melakukan estimasi populasi, mengetahui seberapa besar peluang bahwa kesimpulan tidak tepat. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan: pendekatan intuitif dan pendekatan formal.

Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika_
image source: brightpips.com
baca juga: Konsep Distribusi Sampel dan Uji Hipotesa dalam Statistika

Pendekatan Intuitif
    Berapa probabilitas dari melempar sebuah koin dan mendapatkan Head? Jika melihat jumlah sisi koin = 2, maka secara logika terdapat peluang 50 – 50 untuk mendapatkan sisi koin Head atau Tail dalam 1 kali pelemparan koin. Respon serupa itulah yang akan diperoleh dengan memakai teori probabilitas, dengan dasar pemikiran:
    1. Berapa kejadian yang mungkin muncul dari melempar 1 koin? Head atau Tail
    2. Dari semua kemungkinan yang ada, berapa kemungkinan memperoleh 1 lemparan Head?
    3. Probabilitas keluar Head (p) =
    4. Berapa probabilitas untuk menebak (secara random) jawaban benar pada tes benar-salah?
    Contoh pada koin:
    1. Berapa probabilitas untuk memperoleh angka 2 dalam pelemparan sebuah dadu? Ada satu sisi angka 2 dari 6 sisi yang ada pada dadu: p = 1/6

    II. Pendekatan Formal

    Pada pendekatan formal, probabilitas dilihat dari semua kemungkinan kejadian dari suatu trial (OS)

    Coin:               E = Head
    True-False:    E = Jawaban benar
    Dadu:             E = nilai 2          

    • Jika 2 coin dilempar secara bersamaan, maka OS = (HH; HT; TH; TT). Peluang kedua-duanya H = 1/4; kedua-duanya T=1/2
    • 3 coin dilempar secara bersamaan, maka OS = (HHH; HHT; HTH; THH; HTT; THT; TTH; TTT). Peluang untuk mendapatkan: 3H bersamaan pada satu kali pelemparan = 1/8; 2H1T = 3/8; 1H2T = 3/8; 3T = 1/8
    • Dapat diperluas dengan pendekatan binominal (p+q)n
    • Hukum Additional dan Multiplication.

    Addition digunakan untuk “atau” sementara Multiplication digunakan untuk “dan”
    Contoh:

    Berapa probabilitas untuk mendapatkan nilai 1,2 atau 3 dalam satu kali lemparan dadu?
                Dengan hukum addition: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½
    Berapa probabilitas untuk mendapatkan 4H dalam melempar coin sebanyak 4 kali?
                Dengan hukum multiplication: ½ x ½ x ½ x ½ = 1/16

    Permutasi atau Perubahan
    • Penyusunan obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, dengan memperhatikan susunannya. Rumus :
      Bila n besar, maka rumus:
    Kombinasi atau Gabungan
    • Seleksi terhadap obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, tanpa memperhatikan tata susunannya. Rumus:
                                              nCr   =      n!
                                                             r ! (n-r) !

    Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik
    • Ada kesamaan bentuk (isomorphism) antara pemikiran2 matematik dan gejala alam. Contoh: kurva distribusi normal merupakan ide matematik beruapa Kurva berbentuk bel sempurna.
    • Kurve normal merupakan distribusi teoretik dari frekuensi suatu kejadian yang dikembangkan dalam hubungan dengan perhitungan probabilitas secara matematik. Oleh.karena itu pemahaman tentang kurva normal dapat diperoleh melalui pembahasan prinsip-prinsip probabilitas.



    Addition Theorem

    1. Misal sebuah dadu dilemparkan. Berapa probabilitas untuk mendapatkan nilai 1, 2 atau 3 dalam 1x lemparan ?
                Kejadian mutually exclusive/independent: bila 1 kejadian terjadi maka kejadian lain          tidak bisa terjadi
                Probability untuk mendapatkan angka 1 = 1/6
                Probability untuk mendapatkan angka 2 = 1/6
                Probability untuk mendapatkan angka 3 = 1/6
                Maka: probabilitas untuk mendapatkan 1,2 atau 3 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ (addition of          probability)

    1. Melempar 2 mata uang, maka ada 4 kemungkinan kejadian : HH, HT, TH, dan TT.
                Berapa probabilitas mendapatkan HH atau TT dalam pelemparan 2 mata uang/    koin?
                Probabilitas untuk HH = ¼
                Probabilitas untuk TT = ¼
                HH atau TT = ¼ + ¼ = ½

    1. Melempar 2 dadu. Berapa probabilitas mendapatkan nilai 3 hasil penjumlahan 2 mata dadu?
                Probabilitas dadu I-1 = 1/36
                Probabilitas dadu I- 2 = 1/36
                Probabilitas dadu II-1 = 1/36
                Probabilitas dadu II-2 = 1/36
                Prob untuk mendapatkan 1 dan 2 atau 2 dan 1 = 1/36 + 1/36 = 1/18

    1. Melempar 2 dadu. Berapa probabilitas mendapatkan 7 atau 11?
                Probabilitas mendapatkan 7 = 6/36
                Probabilitas mendapatkan 11 = 2/36
                Probabilitas untuk mendapatkan 7 atau 11 = 6/36 + 2/36 = 8/36

    1. Berapa probabilitas mendapatkan Ace, King, Queen, atau Jack Heart pada waktu mengambil 1 kartu dari 1 set kartu remi?
                Probabilitas untuk Ace heart = 1/52
                Probabilitas untuk King heart = 1/52
                Probabilitas untuk Queen heart = 1/52
                Probabilitas untuk Jack  heart = 1/52
                Ace, King, Queen, atau Jack = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52

    Multiple Theorem
    • Probabilitas dari joint occurance dari 2/lebih kejadian = produk dari probabilitas mereka secara terpisah. Misal: melempar 2 koin, maka kemungkinan kejadian = 4
    Probabilitas dari HH mis. ¼ , maka produk dari 2 kejadian independent, yaitu :
    koin I, probabilitas dari H = ½
    koin II, prob dari H = ½
    Maka, probabilitas bahwa keduanya H = p (H,H) = ½ x ½ = 1/4

    Contoh :

    1. Berapa probabilitas untuk mendapatkan 4H dalam melempar mata uang 4x?
                Probabilitas setiap lemparan menghasilkan H = ½
                Probabilitas empat2nya memunculkan H =  ½ x ½ x ½ x ½ = 1/16

    1. Berapa probabilitas mendapatkan 2 angka 6 dalam melempar 2 dadu?
                Probabilitas bahwa dadu I = 6 = 1/6
                Probabilitas bahwa dadu II = 6 = 1/6
                Probabilitas keduanya menghasilkan 6 = 1/6 x 1/6 = 1/36

    1. Berapa probabilitas menarik Ace, King, dan Queen heart, tanpa dikembalikan lagi dari 1 set kartu?
                Probabilitas kartu I Ace heart = 1/52
                Probabilitas kartu II King heart = 1/52
                Probabilitas kartu III Queen heart = 1/52
                Ace, King, Queen = 1/52 x 1/51 x 1/50 = 1/132.600
    Distribusi Probabilitas

    Contoh:

    1. Dari 3 pelemparan mata uang, maka ada 8 kemungkinan yang akan muncul. Distribusi keadaannya:

    No of headsfp
    3
    2
    1
    0
    1
    3
    3
    1
    1/8
    3/8
    3/8
    1/8
    8

    1. Melempar 2 dadu

    Number (x)FP
    12
    11
    10
    9
    8
    7
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    5
    4
    3
    2
    1
    1/36
    2/36
    8


    1. Bila 2 coin dilempar pada saat bersamaan, maka ada 4 kemungkinan kejadian yang ada:

    IIIIIIIV
    Koin1HHTT
    2HTHT


    Probabilitas untuk dua2nya H = ¼
    Probabilitas untuk dua2nya T = ¼
    Probabilitas untuk kombinasi TH = ¼
    Probabilitas untuk kombinasi HT = ¼

    1. Bila 3 coin dilempar bersamaan, maka ada 8 kemungkinan kejadian:

    IIIIIIIVVVIVIIVIII
    1HHHTHTTT
    Koin2HHTHTHTT
    3HTHHTTHT

    Probabilitas untuk 3H = 1/8 (I)
     2H 1T = 3/8 (II, III, IV)
    1H 2T = 3/8 (V, VI, VII)

    Catatan:
    • Dapat diperluas dengan pendekatan binominal (p + q)n dimana :
                p = Probabilitas bahwa suatu kejadian akan muncul (H)
                q = Probabilitas bahwa suatu kejadian tidak akan muncul (T = non heads)
                n = S faktor, misalnya : 2 coin = 2, 3 dadu = 3

    Distribusi Binomial (p + q)n
    • 2 coin : (H + T)2 = H2 + 2HT + T2
     (1/2 + ½)2 = (1/2)2 + 2 (1/2 x 1/2) + (1/2)2
     =   ¼   +   ½      +  ¼
          HH   HT/TH     TT

    • 3 coin : (1/2 + 1/2)3 = (1/2)3 + 3(1/2)2 (1/2) + 3(1/2) (1/2) + (1/2)3
     = 1/8 +  3/8  + 3/8 + 1/8
              HHH  2HT   H2T  TTT


    Permutasi (Perubahan)
    • nPr ; P (n,r) ; Pn,r = Penyusunan obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, dengan memperhatikan susunannya

                                                                            nPr =      n !
                                                                     (n – r) !

    • Bila besar n = r (yang akan diambil sama banyak dengan jumlah obyeknya), maka:
     nPr = n !
    • Bila ada obyek2 sejumlah n, yang dikelompokkan karena mempunyai kesamaan jenis, sifat, bentuk, warna, dst, yang besarnya masing2 kelompok adalah n1, n2,…dst ; permutasinya diberi simbol nPn1, n2,…
    rumusnya:   nPn1,n2,… =         n !
                                               n1 ! n2 !
    • Misalnya :
    Ada 3 orang, 2 orang adalah pria dan 1 orang adalah wanita, dan mereka harus berjalan berjajar. Bagaimanakah kemungkinan susunannya?

    3P2,1 =       3 !    =       3 x 2        =  6/2  = 3
                  2 ! 1 !        2 x 1 x 1  

    Kombinasi atau Gabungan
    • Seleksi terhadap obyek2 sejumlah n yang tiap2 kali diambil sebanyak r, tanpa memperhatikan tata susunannya
          nCr ; C (n,r) ; Cn,r ; Cr    =         n !
                                                         r ! (n –r) !

    • Contoh: Apabila ada 3 huruf A,B,C, bagaimana P dan C jika setiap kali diambil 2 huruf?
                            3P2 =    3 !        =  3 x 2 x 1 = 6
                                        (3 – 2) !             1
                            3C2 =      3 !         =     3 x 2 x 1    = 3
                                        2(3 – 2) !            2 x 1

    SOAL LATIHAN
    1. Semua huruf dalam alfabet ditulis dalam secarik kertas kecil. Masing-masing huruf ditulis 1x kemudian masing-masing digulung dan dimasukkan dalam kotak. Berapa peluang terambil huruf A, N,G,E,L dalam 1x pengambilan?
    2. A melempar 2 dadu. Berapa peluang (p) dadu yang dilempar mengeluarkan jumlah 6 atau 9?
    3. Dari 4 orang (3 perempuan, 1 laki-laki), cari berapa kemungkinan perubahan  (P) yang dapat  terjadi jika keempat orang tersebut harus duduk pada sisi yang sama (sejajar)

    Daftar Pustaka
    • Aron, A., Coups, E.J., & Aron, E.N. (2013). Statistics for psychology. 6th ed.  New Jersey: Pearson Education, Inc.
    • Gravetter, F.J. & Wallnau, L.B. (2009). Statistics for the Behavioral Sciences.
    • Hinton, P.R. (2004). Statistics Explained, 2nd ed. London: Routledge.
    • Howell, D.C. (2012). Statistical Method for Psychology. Australia: Wadsworth, Cengage Learning.
    • Nolan, S.A. & Heinzen, T.E, (2012). Statistics for the Behavioral Sciences. Second Edition. New York: Worth Publishers.
    • Sulistiyono, S. (2009). Statistika Psikologi 2. Jakarta: Fakultas Psikologi Universitas Mercu Buana.

    Posting Komentar untuk "Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika"

    Klik gambar berikut untuk mengunduh artikel ini:

    Berlangganan via Email