Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika

Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik dalam Statistika - Probabilitas dan Distribusi Matematik merupakan dasar untuk melakukan estimasi populasi, mengetahui seberapa besar peluang bahwa kesimpulan tidak tepat. Ada dua pendekatan yang dapat digunakan: pendekatan intuitif dan pendekatan formal.

image source: brightpips.com

baca juga: Konsep Distribusi Sampel dan Uji Hipotesa dalam Statistika

Pendekatan Intuitif

Berapa probabilitas dari melempar sebuah koin dan mendapatkan Head? Jika melihat jumlah sisi koin = 2, maka secara logika terdapat peluang 50 – 50 untuk mendapatkan sisi koin Head atau Tail dalam 1 kali pelemparan koin. Respon serupa itulah yang akan diperoleh dengan memakai teori probabilitas, dengan dasar pemikiran:

1. Berapa kejadian yang mungkin muncul dari melempar 1 koin? Head atau Tail
2. Dari semua kemungkinan yang ada, berapa kemungkinan memperoleh 1 lemparan Head?
3. Probabilitas keluar Head (p) =
   
   
4. Berapa probabilitas untuk menebak (secara random) jawaban benar pada tes benar-salah?

Contoh pada koin:

5. Berapa probabilitas untuk memperoleh angka 2 dalam pelemparan sebuah dadu? Ada satu sisi angka 2 dari 6 sisi yang ada pada dadu: p = 1/6

II. Pendekatan Formal

Pada pendekatan formal, probabilitas dilihat dari semua kemungkinan kejadian dari suatu trial (OS)

Coin:               E = Head
True-False:    E = Jawaban benar
Dadu:             E = nilai 2          

• Jika 2 coin dilempar secara bersamaan, maka OS = (HH; HT; TH; TT). Peluang kedua-duanya H = 1/4; kedua-duanya T=1/2
• 3 coin dilempar secara bersamaan, maka OS = (HHH; HHT; HTH; THH; HTT; THT; TTH; TTT). Peluang untuk mendapatkan: 3H bersamaan pada satu kali pelemparan = 1/8; 2H1T = 3/8; 1H2T = 3/8; 3T = 1/8
• Dapat diperluas dengan pendekatan binominal (p+q)ⁿ
• Hukum Additional dan Multiplication.

Addition digunakan untuk “atau” sementara Multiplication digunakan untuk “dan”
Contoh:

Berapa probabilitas untuk mendapatkan nilai 1,2 atau 3 dalam satu kali lemparan dadu?
            Dengan hukum addition: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = ½
Berapa probabilitas untuk mendapatkan 4H dalam melempar coin sebanyak 4 kali?
            Dengan hukum multiplication: ½ x ½ x ½ x ½ = 1/16

Permutasi atau Perubahan

• Penyusunan obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, dengan memperhatikan susunannya. Rumus :
  
  
  Bila n besar, maka rumus:
  

Kombinasi atau Gabungan

• Seleksi terhadap obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, tanpa memperhatikan tata susunannya. Rumus:

                                          nCr   =      n!
                                                         r ! (n-r) !

Konsep Probabilitas dan Distribusi Matematik

• Ada kesamaan bentuk (isomorphism) antara pemikiran2 matematik dan gejala alam. Contoh: kurva distribusi normal merupakan ide matematik beruapa Kurva berbentuk bel sempurna.
• Kurve normal merupakan distribusi teoretik dari frekuensi suatu kejadian yang dikembangkan dalam hubungan dengan perhitungan probabilitas secara matematik. Oleh.karena itu pemahaman tentang kurva normal dapat diperoleh melalui pembahasan prinsip-prinsip probabilitas.

Addition Theorem

1. Misal sebuah dadu dilemparkan. Berapa probabilitas untuk mendapatkan nilai 1, 2 atau 3 dalam 1x lemparan ?

            Kejadian mutually exclusive/independent: bila 1 kejadian terjadi maka kejadian lain          tidak bisa terjadi
            Probability untuk mendapatkan angka 1 = 1/6
            Probability untuk mendapatkan angka 2 = 1/6
            Probability untuk mendapatkan angka 3 = 1/6
            Maka: probabilitas untuk mendapatkan 1,2 atau 3 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = ½ (addition of          probability)

1. Melempar 2 mata uang, maka ada 4 kemungkinan kejadian : HH, HT, TH, dan TT.

            Berapa probabilitas mendapatkan HH atau TT dalam pelemparan 2 mata uang/    koin?
            Probabilitas untuk HH = ¼
            Probabilitas untuk TT = ¼
            HH atau TT = ¼ + ¼ = ½

1. Melempar 2 dadu. Berapa probabilitas mendapatkan nilai 3 hasil penjumlahan 2 mata dadu?

            Probabilitas dadu I-1 = 1/36
            Probabilitas dadu I- 2 = 1/36
            Probabilitas dadu II-1 = 1/36
            Probabilitas dadu II-2 = 1/36
            Prob untuk mendapatkan 1 dan 2 atau 2 dan 1 = 1/36 + 1/36 = 1/18

1. Melempar 2 dadu. Berapa probabilitas mendapatkan 7 atau 11?

            Probabilitas mendapatkan 7 = 6/36
            Probabilitas mendapatkan 11 = 2/36
            Probabilitas untuk mendapatkan 7 atau 11 = 6/36 + 2/36 = 8/36

1. Berapa probabilitas mendapatkan Ace, King, Queen, atau Jack Heart pada waktu mengambil 1 kartu dari 1 set kartu remi?

            Probabilitas untuk Ace heart = 1/52
            Probabilitas untuk King heart = 1/52
            Probabilitas untuk Queen heart = 1/52
            Probabilitas untuk Jack  heart = 1/52
            Ace, King, Queen, atau Jack = 1/52 + 1/52 + 1/52 + 1/52 = 4/52

Multiple Theorem

• Probabilitas dari joint occurance dari 2/lebih kejadian = produk dari probabilitas mereka secara terpisah. Misal: melempar 2 koin, maka kemungkinan kejadian = 4

Probabilitas dari HH mis. ¼ , maka produk dari 2 kejadian independent, yaitu :
koin I, probabilitas dari H = ½
koin II, prob dari H = ½
Maka, probabilitas bahwa keduanya H = p (H,H) = ½ x ½ = 1/4

Contoh :

1. Berapa probabilitas untuk mendapatkan 4H dalam melempar mata uang 4x?

            Probabilitas setiap lemparan menghasilkan H = ½
            Probabilitas empat2nya memunculkan H =  ½ x ½ x ½ x ½ = 1/16

1. Berapa probabilitas mendapatkan 2 angka 6 dalam melempar 2 dadu?

            Probabilitas bahwa dadu I = 6 = 1/6
            Probabilitas bahwa dadu II = 6 = 1/6
            Probabilitas keduanya menghasilkan 6 = 1/6 x 1/6 = 1/36

1. Berapa probabilitas menarik Ace, King, dan Queen heart, tanpa dikembalikan lagi dari 1 set kartu?

            Probabilitas kartu I Ace heart = 1/52
            Probabilitas kartu II King heart = 1/52
            Probabilitas kartu III Queen heart = 1/52
            Ace, King, Queen = 1/52 x 1/51 x 1/50 = 1/132.600
Distribusi Probabilitas

Contoh:

1. Dari 3 pelemparan mata uang, maka ada 8 kemungkinan yang akan muncul. Distribusi keadaannya:

No of heads	f	p
3 2 1 0	1 3 3 1	1/8 3/8 3/8 1/8
	8

2. Melempar 2 dadu

Number (x)	F	P
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2	1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1	1/36 2/36
	8

3. Bila 2 coin dilempar pada saat bersamaan, maka ada 4 kemungkinan kejadian yang ada:

		I	II	III	IV
Koin	1	H	H	T	T
	2	H	T	H	T

Probabilitas untuk dua2nya H = ¼
Probabilitas untuk dua2nya T = ¼
Probabilitas untuk kombinasi TH = ¼
Probabilitas untuk kombinasi HT = ¼

4. Bila 3 coin dilempar bersamaan, maka ada 8 kemungkinan kejadian:

		I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
	1	H	H	H	T	H	T	T	T
Koin	2	H	H	T	H	T	H	T	T
	3	H	T	H	H	T	T	H	T

Probabilitas untuk 3H = 1/8 (I)
 2H 1T = 3/8 (II, III, IV)
1H 2T = 3/8 (V, VI, VII)

Catatan:

• Dapat diperluas dengan pendekatan binominal (p + q)ⁿ dimana :

            p = Probabilitas bahwa suatu kejadian akan muncul (H)
            q = Probabilitas bahwa suatu kejadian tidak akan muncul (T = non heads)
            n = S faktor, misalnya : 2 coin = 2, 3 dadu = 3

Distribusi Binomial (p + q)ⁿ

• 2 coin : (H + T)² = H² + 2HT + T²

 (1/2 + ½)² = (1/2)² + 2 (1/2 x 1/2) + (1/2)²
 =   ¼   +   ½      +  ¼
      HH   HT/TH     TT

• 3 coin : (1/2 + 1/2)³ = (1/2)³ + 3(1/2)² (1/2) + 3(1/2) (1/2) + (1/2)³

 = 1/8 +  3/8  + 3/8 + 1/8
          HHH  2HT   H2T  TTT


Permutasi (Perubahan)

• _nP_r ; P (n,r) ; P_n,r = Penyusunan obyek2 (sejumlah n) yang tiap kali diambil sejumlah r, dengan memperhatikan susunannya

                                                                        _nP_r =      n !
                                                                 (n – r) !

• Bila besar n = r (yang akan diambil sama banyak dengan jumlah obyeknya), maka:

 _nP_r = n !

• Bila ada obyek2 sejumlah n, yang dikelompokkan karena mempunyai kesamaan jenis, sifat, bentuk, warna, dst, yang besarnya masing2 kelompok adalah n₁, n₂,…dst ; permutasinya diberi simbol _nP_{n1, n2,…}

rumusnya:   _nP_n1,n2,… =         n !
                                           n₁ ! n₂ !

• Misalnya :

Ada 3 orang, 2 orang adalah pria dan 1 orang adalah wanita, dan mereka harus berjalan berjajar. Bagaimanakah kemungkinan susunannya?

₃P_2,1 =       3 !    =       3 x 2        =  6/2  = 3
              2 ! 1 !        2 x 1 x 1  

Kombinasi atau Gabungan

• Seleksi terhadap obyek2 sejumlah n yang tiap2 kali diambil sebanyak r, tanpa memperhatikan tata susunannya

      nCr ; C (n,r) ; Cn,r ; Cr    =         n !
                                                     r ! (n –r) !

• Contoh: Apabila ada 3 huruf A,B,C, bagaimana P dan C jika setiap kali diambil 2 huruf?

                        3P2 =    3 !        =  3 x 2 x 1 = 6
                                    (3 – 2) !             1
                        3C2 =      3 !         =     3 x 2 x 1    = 3
                                    2(3 – 2) !            2 x 1

SOAL LATIHAN

1. Semua huruf dalam alfabet ditulis dalam secarik kertas kecil. Masing-masing huruf ditulis 1x kemudian masing-masing digulung dan dimasukkan dalam kotak. Berapa peluang terambil huruf A, N,G,E,L dalam 1x pengambilan?
2. A melempar 2 dadu. Berapa peluang (p) dadu yang dilempar mengeluarkan jumlah 6 atau 9?
3. Dari 4 orang (3 perempuan, 1 laki-laki), cari berapa kemungkinan perubahan  (P) yang dapat  terjadi jika keempat orang tersebut harus duduk pada sisi yang sama (sejajar)

Daftar Pustaka

• Aron, A., Coups, E.J., & Aron, E.N. (2013). Statistics for psychology. 6th ed.  New Jersey: Pearson Education, Inc.
• Gravetter, F.J. & Wallnau, L.B. (2009). Statistics for the Behavioral Sciences.
• Hinton, P.R. (2004). Statistics Explained, 2nd ed. London: Routledge.
• Howell, D.C. (2012). Statistical Method for Psychology. Australia: Wadsworth, Cengage Learning.
• Nolan, S.A. & Heinzen, T.E, (2012). Statistics for the Behavioral Sciences. Second Edition. New York: Worth Publishers.
• Sulistiyono, S. (2009). Statistika Psikologi 2. Jakarta: Fakultas Psikologi Universitas Mercu Buana.